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7^o Tout nombre premier de la forme $40n+1$ est en même temps de chacune de ces trois formes $y^{2}+10z^{2},\ y^{2}-10z^{2}$ et $10z^{2}-y^{2}.$

8^o Tout nombre premier de la forme $56n+1$ est de la forme $y^{2}+14z^{2}$ ou $2y^{2}+7z^{2},$ et en même temps de la forme $y^{2}-14z^{2}.$

9^o Tout nombre premier de la forme $60n+1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+15z^{2}$ et $y^{2}-15z^{2}.$

10^o Tout nombre premier de la forme $84n-1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+21z^{2}$ et $y^{2}-21z^{2}.$

11^o Tout nombre premier de la forme $120n+1$ est à la fois de l’une et de l’autre de ces formes $y^{2}+30z^{2}$ et $y^{2}-30z^{2}.$

Considérons maintenant les nombres premiers de la forme $20n+9,$ et je dis que ces nombres sont nécessairement diviseurs de quelques nombres de la forme $t^{2}-5u^{2}.$ Car si on le nie, il faudra qu’on admette (Lemme VII, n^o 45) que le nombre

${\frac {\left(t+u{\sqrt {5}}\right)^{20n+10}-\left(t-u{\sqrt {5}}\right)^{20n+10}}{2t{\sqrt {5}}}},$

et même qu’un facteur quelconque de ce nombre est divisible par le nombre premier $20n+9.$ Or l’expression précédente a évidemment ce facteur

${\frac {\left(t+u{\sqrt {5}}\right)^{5}-\left(t-u{\sqrt {5}}\right)^{5}}{2t{\sqrt {5}}}},$

c’est-à-dire, en développant les termes,

$5\left(t^{4}+10t^{2}u^{2}+5u^{4}\right)=25\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}-5\left(2t^{2}\right)^{2}\,;$

donc le nombre $20n+9$ sera nécessairement diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-5u^{2}.$ De là et des Tables citées résulte d’abord ce Théorème :

12^o Tout nombre premier de la forme $20n+9$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+5z^{2},\ y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-y^{2}.$

Enfin puisque les nombres de la forme $40n+9$ sont aussi de la forme