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forme $y^{2}+7z^{2}$ et de l’une de ces deux-ci $y^{2}-7z^{2},\ 7z^{2}-y^{2}\,;$ mais la Table IV montre que la forme $-y^{2}+7z^{2}$ ne peut donner des nombres de la forme $28n+1\,;$ donc tout nombre premier $28n+1$ sera nécessairement de ces deux formes $y^{2}+7z^{2}$ et $y^{2}-7z^{2}.$

Si l’on faisait encore $a=11,$ on aurait

$\mathrm {R} =s^{11}-11s^{9}r^{2}+11.4s^{7}r^{4}-11.7s^{5}r^{6}+11.5s^{3}r^{8}-11sr^{10}\,;$

de sorte que tout nombre premier de la forme $44n+1$ pourra être un diviseur de

$s^{11}-11\left(s^{8}-4s^{6}r^{2}+7s^{4}r^{4}-5s^{2}r^{6}+r^{8}\right)r^{2}\,;$

mais je ne vois pas comment cette quantité pourrait se réduire à la forme $t^{2}-11u^{2}\,;$ c’est pourquoi il me paraît que l’usage de la méthode précédente est borné aux seuls cas que nous venons d’examiner ; d’autant plus que ces cas sont les seuls où l’on ait pu jusqu’ici déterminer les racines de l’équation $r^{2a}+1=0,$ en supposant $a$ un nombre premier ; en effet, si l’on pouvait trouver, pour une valeur quelconque de $a,$ l’expression de la racine $r,$ et que cette expression contint d’une manière quelconque le radical ${\sqrt {a}}$ ou ${\sqrt {-a}},$ il est facile de voir qu’on pourrait toujours avoir un facteur de $r^{2a}+1$ qui serait de la forme $t^{2}\pm au^{2},$ et qui pourrait par conséquent être divisible par tout nombre premier de la forme $4na+1.$

Ayant trouvé jusqu’ici que tout nombre premier de la forme $4na+1$ est toujours un diviseur de $t^{2}\pm au^{2}$ lorsque $a=2,\ 3,\ 5,\ 7,$ il s’ensuit du Lemme VI que cela sera vrai aussi lorsque $a$ sera égal au produit de quelques-uns des nombres $2,\ 3,\ 5,\ 7.$ Ainsi, faisant successivement

$a=6,\ 10,\ 14,\ 15,\ 21,\ 30,$

on trouvera, d’après les Tables I et II combinées avec les Tables III et IV, les Théorèmes suivants :

6^o Tout nombre premier de la forme $24n+1$ est en même temps de l’une et de l’autre de ces deux formes $y^{2}+6z^{2}$ et $y^{2}-6z^{2}.$