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Soit en troisième lieu $a=3,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{3}-3sr^{2}=s\left(s^{2}-3r^{2}\right)\,;$

donc tout nombre premier de la forme $12n+1$ pourra être diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-3u^{2},$ et par conséquent aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+3u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

3^o Tout nombre premier de la forme $12n+1$ sera en même temps de la forme $y^{2}+3z^{2}$ et de l’une de ces deuxs $y^{2}-3z^{2}$ et $3z^{2}-y^{2}\,;$ mais on voit par la Table IV que la forme $-y^{2}+3z^{2}$ ne donne que des nombres de la forme $12n-1\,;$ donc tout nombre premier $12n+1$ sera nécessairement de ces deux formes $y^{2}+3z^{2}$ et $y^{2}-3z^{2}.$

Soit en quatrième lieu $a=5,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{5}-5s^{3}r^{2}+5sr^{4}=s\left(s^{4}-5s^{2}r^{2}+5r^{4}\right)\,;$

donc tout nombre premier de la forme $20n+1$ pourra être un diviseur de $s^{4}-5s^{2}r^{2}+5r^{4},$ par conséquent aussi de

$4s^{4}-20s^{2}r^{2}+20r^{4}=\left(2s^{2}-5r^{2}\right)^{2}-5r^{4},$

c’est-à-dire d’un nombre de la forme $t^{2}-5u^{2}\,;$ donc il pourra l’être aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+5u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

4^o Tout nonabre premier de la forme $20n+1$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+5z^{2},\ y^{2}-5z^{2}$ et $5z^{2}-y^{2}.$

En cinquième lieu, soit $a=7,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{7}-7s^{5}r^{2}+14s^{3}r^{4}-7sr^{6}=s\left[s^{6}-7\left(s^{2}-r^{2}\right)^{2}r^{2}\right]\,;$

donc tout nombre premier de la forme $20n+1$ pourra être un diviseur de $s^{6}-7\left(s^{2}-r^{2}\right)^{2}r^{2},$ et par conséquent d’un nombre de la forme $t^{2}-7u^{2},$ comme aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+7u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

5^o Tout nombre premier de la forme $28n+1$ sera en même temps de la