ainsi
pourra être divisible par
lorsque c’est un nombre premier. Faisons
et l’on aura le binôme
qui pourra être divisible par
faisons de plus
et le binôme
pourra se réduire à cette forme
![{\displaystyle s^{a}-as^{a-2}r^{2}+{\frac {a(a-3)}{2}}s^{a-4}r^{4}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{2.3}}s^{a-6}r^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca93693816b3a37dc8912c3e7705c9a1464e6a6)
![{\displaystyle +{\frac {a(a-5)(a-6)(a-7)}{2.3.4}}s^{a-8}r^{8}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87ac49a75a2c0df055cf1ef375bf4631a1177d4)
quantité que nous appellerons
pour plus de simplicité. Ainsi tout nombre premier de la forme
pourra être un diviseur du polynôme
ou même d’un facteur quelconque entier et rationnel de ce polynôme. Il faut seulement remarquer, à l’égard de la série qui représente ce polynôme, qu’elle ne doit être poussée que jusqu’aux termes exclusivement qui contiendraient des puissances négatives de
c’est de quoi il est facile de se convaincre par la nature même de cette série, laquelle, en y substituant
à la place de
doit se réduire à ![{\displaystyle r^{2a+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e1a10cc60c4e402eca8b16a10afb7efce2e746)
Cela posé, soit d’abord
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =s=r^{2}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5477d9f82665e991ec2a9057498700ea98806f)
donc tout nombre premier de la forme
pourra être un diviseur d’un nombre de la forme
donc (18) :
1o Tout nombre premier de la forme
est aussi de la forme
Soit ensuite
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =s^{2}-r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d9fbe04a812c33a5562d7152457cca4829cb5a)
d’où il s’ensuit que tout nombre premier de la forme
peut être un diviseur d’un nombre de la forme
et par conséquent aussi d’un nombre de la forme
(Lemme IV) ; donc (18 et 20) :
2o Tout nombre premier de la forme
est en même temps de ces trois formes
et