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$2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}$ est de la forme $y^{2}+5z^{2}$ ce qui est facile, car on trouve que

$\left(2y^{2}+2yz+3z^{2}\right)\left(2y'^{2}+2y'z'+3z'^{2}\right)$

$=(2yy'+yz'+zy'+3zz')^{2}+5(yz'-zy')^{2}.$

À l’égard des autres Théorèmes de M. Fermat qui concernent les nombres premiers de la forme $4n+1,$ on en trouvera la démonstration ci-après.

47. Les Théorèmes du n^o 45 ne regardent que les nombres premiers de la forme $4n-1.$ Pour avoir de pareils Théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n+1,$ il faudrait pouvoir démontrer que les nombres premiers de la forme $4na+b,$ lorsque $b$ est de la forme $4m+1,$ peuvent toujours être diviseurs de quelque nombres de la forme $t^{2}+au^{2}$ ou $t^{2}-au^{2}\,;$ car nous avons déjà prouvé (40) que tout nombre premier de la forme $4n+1$ qui est un diviseur de $t^{2}\pm au^{2}$ l’est aussi de $t^{2}\mp au^{2}.$ Or quoique l’induction paraisse prouver que les nombres premiers des formes qui conviennent aux diviseurs de $t^{2}\pm au^{2}$ peuvent toujours être effectivement des diviseurs de pareils nombres, cette proposition ne peut être démontrée rigoureusement par rapport aux nombres premiers de la forme $4n+1$ que pour un très-petit nombre de cas ; du moins toutes les tentatives que j’ai faites pour en venir à bout ont été jusqu’à présent inutiles ; de sorte que je me bornerai ici à rapporter les résultats de mes Recherches dans quelques cas particuliers où j’ai réussi à trouver la démonstration de la proposition dont il s’agit ; ce sont ceux où $b=1$ et où $a=1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7$ ou $=$ au produit de quelques-uns de ces nombres, et où $b=9$ et $a=5,10.$

théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n+1.$

48. Nous avons vu (Lemmes I et II) qu’on peut toujours trouver une valeur des $x$ telle que $x^{p-1}-1,$ ou un quelconque des facteurs rationnels et entiers de ce binôme soit divisible par $p.$ Soit donc $p=4na+1,$ on aura

$x^{p-1}-1=x^{4na}-1=\left(x^{2na}-1\right)\left(x^{2na}+1\right)\,;$