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de la forme $15z^{2}-2y^{2}\,;$ enfin tous ceux des formes $120n-13,\ 120n-37$ sont de la forme $2y^{2}-15z^{2}.$

Nous nous arrêtons ici, n’ayant poussé nos Tables que jusqu’à $a=30\,;$ mais ceux qui sont curieux de ces sortes de Théorèmes pourront aisément les continuer aussi loin qu’ils voudront à l’aide des principes et des méthodes que nous avons donnés jusqu’ici.

46. Maintenant il est clair que le Théorème 10 du numéro précédent renferme le Théorème 4^o de M. Fermat (36) ; que le Théorème 2^o ci-dessus renferme une partie du Théorème 5^o de M. Fermat, et qu’il est même plus général que celui de ce Géomètre, en ce que le nôtre nous apprend que tous les nombres premiers de la forme $8n-1$ sont non-seulement de la forme $y^{2}-2z^{2},$ mais aussi de celle-ci $2z^{2}-y^{2}.$ Enfin il est visible que notre Théorème 3^o renferme aussi le Théorème 2^o de M. Fermat, mais pour le cas seulement où $n$ est impair.

Quant au Théorème 6^o de cet Auteur, quoiqu’il ne soit point contenu immédiatement dans le Théorème 5^o du numéro précédent, il est cependant facile de l’en déduire. En effet, on peut d’abord démontrer que tous les nombres de la forme $4m+3,$ qui sont terminés par les caractères $3$ ou $7,$ sont nécessairement de l’une de ces deux formes $20n+3,\ 20n+7\,;$ car en faisant successivement

$m=5n,\ \ 5n+1,\ \ 5n+2,\ \ 5n+3,\ \ 5n+4,$

la forme $4m+3$ donne celle-ci

$20n+3,\ \ 20n+7,\ \ 20n+11,\ \ 20n+15,\ \ 20n+19\,;$

où l’on voit qu’il n’y a que les deux premières qui puissent donner des nombres terminés par $3$ ou par $7.$ Ainsi le Théorème de M. Fermat se réduit à ce que le produit de deux nombres premiers de ces formes $20n+3,\ 20n+7$ est toujours de la forme $y^{2}+5z^{2}.$ Or notre Théorème 5^o nous apprend que tous les nombres premiers des formes $20n+3,\ 20n+7$ sont nécessairement de la forme $2y^{2}\pm 2yz+3z^{2}.$ Donc il n’y a qu’à prouver que le produit de deux nombres de la forme