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le sera aussi ; donc

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t+u{\sqrt {a}}$

sera divisible par $p\,;$ donc, prenant le radical ${\sqrt {a}}$ en $-,$

$\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p}-t-u{\sqrt {a}}$

sera également divisible par $p\,;$ donc enfin multipliant la première de ces quantités par $t+u{\sqrt {a}},$ et la seconde par $t-u{\sqrt {a}},$ et prenant la différence, cette différence sera encore divisible par $p\,;$ ainsi

$\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}-\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}$

sera toujours divisible par $p\,;$ mais si l’on développe cette quantité, on voit qu’à cause, que $p+1$ est pair, tous les termes sont divisibles par $2t{\sqrt {a}}\,;$ donc, puisque ni $t$ ni ${\sqrt {a}}$ n’est divisible par $p,$ il s’ensuit que la quantité

${\frac {\left(t+u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}-\left(t-u{\sqrt {a}}\right)^{p+1}}{2t{\sqrt {a}}}}$

sera divisible par $p.$

Cette quantité étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de $t,$ devient un polynôme entier et rationnel du degré $p-1\,;$ ainsi, supposant $u$ donné, il y aura $p-1$ valeurs de $t$ tant positives que négatives, mais moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront ce polynôme divisible par $p,$ ces valeurs étant

$\pm 1,\quad \pm 2,\quad \pm 3,\ldots \quad \pm {\frac {p-1}{2}}.$

Donc on prouvera, comme dans le Lemme II, que si ce polynôme a un facteur rationnel et entier de l’ordre $m,$ il y aura nécessairement $m$ valeurs de $t$ qui rendront aussi ce facteur divisible par $p.$

théorèmes sur les nombres premiers de la forme $4n-1.$

45. Comme les nombres premiers de cette forme qui ne sont pas diviseurs de $t^{2}\pm au^{2}$ le sont nécessairement de $t^{2}\mp au^{2}$ par le Lemme V (41), on pourra appliquer à ces nombres les propriétés qui conviennent aux