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faut nécessairement que $a^{\frac {p-1}{2}}+1$ soit divisible par $p.$ Ainsi dans ce cas

$a^{\frac {p-1}{2}}+1\quad {\text{ou bien}}\quad a^{2n-1}+1$

sera divisible par $p\,;$ donc aussi

$(-a)^{2n-1}-1\quad {\text{ou bien}}\quad (-a)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p.$ Donc, par le Lemme III, le nombre $p$ sera diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

42. Corollaire. — Il suit des deux derniers Lemmes :

1^o Que si $4an+b$ est une des formes des diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}$ lorsque $b$ sera de la forme $4m+1\,;$ et que si $4an+b$ est une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}.$

2^o Que si $4an+b$ est une des formes des diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}$ lorsque $b$ sera de la forme $4m-1\,;$ et que si $4an+b$ est une des formes des non-diviseurs de $t^{2}\pm au^{2},$ ce sera aussi nécessairement une des formes des diviseurs de $t^{2}\mp au^{2}.$ Les quatre dernières Tables fournissent des exemples de la vérité de ces propositions.

Lemme VI.

43. Si un nombre premier $p$ est à la fois diviseur de différents nombres de ces formes $t^{2}-au^{2},\ t^{2}-a'u^{2},\ t^{2}-a''u^{2},\ldots ,$ je dis qu’il sera aussi diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-aa'a''\ldots u^{2}.$

Si $p$ divise en même temps les deux nombres $t^{2}-au^{2}$ et $t'^{2}-a'u'^{2},$ il divisera aussi le nombre

$t^{2}\left(t'^{2}-a'u'^{2}\right)+a'u'^{2}\left(t^{2}-au^{2}\right),$

c’est-à-dire

$(tt')^{2}-aa'(uu')^{2}\,;$

et, si le même nombre $p$ divise encore le nombre $t''^{2}-a''u''^{2},$ on prouvera pareillement qu’il divisera aussi le nombre

$(tt't'')^{2}-aa'a''(uu'u'')^{2}\,;$