Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/780

le premier

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}\,;$

donc

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p\,;$ mais $u^{p-1}-1$ étant aussi divisible par $p,$

$u^{p-1}a^{\frac {p-1}{2}}-a^{\frac {p-1}{2}}$

sera encore divisible par $p\,;$ par conséquent la différence de ces nombres, c’est-à-dire

$a^{\frac {p-1}{2}}-1,$

sera nécessairement divisible par $p.$

2^o Si $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ est supposé divisible par $p,$ alors, par le Lemme II, il y aura toujours quelques valeurs de $x$ qui rendront chacun des facteurs de

$x^{p-1}-a^{\frac {p-1}{2}}$

${\Bigl (}\!$ en prenant $a^{\frac {p-1}{2}}-1=p\Pi {\Bigr )}$ divisible par $p\,;$ mais ce binôme a pour facteur $x^{2}-a\,;$ donc $p$ pourra être diviseur de $x^{2}-a,$ c’est-à-dire d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}.$

Lemme IV.

40. Si l’on a un nombre premier $p$ de la forme $4n+1,$ lequel soit un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il le sera aussi nécessairement d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Et vice versâ si $p$ n’est jamais un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra jamais l’être d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Car si $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ on aura par le Lemme précédent $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ divisible par $p\,;$ mais ${\frac {p-1}{2}}=2n\,;$ donc