Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/779

de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ soit $m,$ et que celui des valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles rendront divisible par $p,$ soit $\mu .$

En général, si $\Pi$ est un polynôme quelconque entier et rationnel en $x,$ dont le degré soit moindre que $p-1$ et que le polynôme $x^{p-1}\pm p\Pi -1$ soit résoluble dans les deux polynômes $\mathrm {X}$ et $\xi$ rationnels et entiers, il suit de la démonstration précédente qu’il y aura toujours $m$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ et $\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\xi$ divisible par $p.$

Lemme III.

39. Si un nombre premier $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ $a$ étant un nombre donné positif ou négatif et $t,u$ des nombres premiers entre eux, et non divisibles par $p\,;$ je dis que $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera nécessairement divisible par $p.$

Et réciproquement si $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ est divisible par $p,$ ce nombre $p$ pourra toujours être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}.$

Car :

1^o Supposant $t^{2}-au^{2}=p\mathrm {M} ,$ on aura

$t^{2}=au^{2}+p\mathrm {M} \,;$

or, par le Lemme I, $t^{p-1}-1$ et $u^{p-1}-1$ sont divisibles par $p\,;$ donc

$\left(au^{2}+p\mathrm {M} \right)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera aussi divisible par $p\,;$ mais en développant la puissance

$\left(au^{2}+p\mathrm {M} \right)^{\frac {p-1}{2}},$

on voit que tous les termes en sont d’eux-mêmes multiples de $p,$ excepté