Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/778

Lemme I.

37. Si $p$ est un nombre premier quelconque, et $x$ un nombre non divisible par $p,$ le nombre $x^{p-1}-1$ est toujours divisible par $p.$

C’est le Théorème connu de M. Fermat dont M. Euler a donné différentes démonstrations dans les Commentaires de Pétersbourg. Voyez aussi à ce sujet les Mémoires de 1771^[1]. Il y a donc un nombre $p-1$ de nombres entiers positifs ou négatifs, chacun moindre que ${\frac {p}{2}},$ qu’on peut prendre pour $x,$ en sorte que $x^{p-1}-1$ devienne divisible par $p\,;$ car ces nombres sont $\pm 1,\pm 2,\ldots ,$$\pm {\frac {p-1}{2}}.$

Lemme II.

38. Si le binôme $x^{p-1}-1$ est résoluble en deux facteurs rationnels et entiers $\mathrm {X}$ et $\xi ,$ dont les degrés soient $m$ et $\mu ,$ en sorte que $m+\mu =p-1\,;$ je dis qu’il y aura nécessairement $m$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X}$ divisible par $p,$ et $\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\xi$ aussi divisible par $p.$

Car puisque par le Lemme précédent il y a $p-1$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ qui rendent $x^{p-1}-1$ divisible par $p,$ il y aura donc $m+\mu$ valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}}$ qui rendront $\mathrm {X} \xi$ divisible par $p\,;$ mais $p$ étant un nombre premier, $\mathrm {X} \xi$ ne peut être divisible par $p,$ à moins que $\mathrm {X}$ ou $\xi$ ne le soit ; d’autre part le nombre des valeurs de $x$ moindres que ${\frac {p}{2}},$ lesquelles peuvent rendre le polynôme $\mathrm {X}$ ou $\xi$ divisible par $p,$ ne peut surpasser $m$ ou $\mu ,$ ainsi que nous l’avons démontré dans les Mémoires de 1768^[2] ; donc il faudra nécessairement que le nombre des valeurs

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 425.
2. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 667.