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la division ne réussit par aucun de ces six nombres premiers ; d’où l’on doit conclure sur-le-champ que le nombre $100\,003$ est premier.

En général, on voit par la comparaison des Tables V et VI avec les Tables III et IV, que le nombre des formes des non-diviseurs est égal à celui des formes des diviseurs ; de sorte que les formes admissibles ne composent que la moitié de toutes les formes possibles ; ce qui doit nécessairement réduire le nombre des essais à faire à la moitié ; mais en combinant ensemble plusieurs formes différentes, ainsi que nous l’avons fait dans les Exemples précédents, on parviendra encore à diminuer ce nombre autant qu’il sera possible.

des nombres premiers de la forme $4an+b,$ lesquels sont en même temps de la forme $u^{2}\pm at^{2}.$

36. M. Fermat a trouvé le premier les Théorèmes suivants :

1^o Tous les nombres premiers de la forme $4n+1$ sont aussi de la forme $y^{2}+z^{2}.$

2^o Tous les nombres premiers de la forme $6n+1$ sont de la forme $y^{2}+3z^{2}.$

3^o Tous les nombres premiers de la forme $8n+1$ sont de la forme $y^{2}+2z^{2}.$

4^o Tous les nombres premiers de la forme $8n+3$ sont aussi de la forme $y^{2}+2z^{2}.$

5^o Tous les nombres premiers de la forme $8n\pm 1$ sont de la forme $y^{2}-2t^{2}.$

6^o Le produit de deux nombres premiers de la forme $4n+3,$ et terminés par les caractères $3$ ou $7,$ est toujours de la forme $y^{2}+5z^{2}\,;$ et le carré de chacun de ces nombres en particulier est aussi de la même forme.

Les quatre premiers et le dernier de ces Théorèmes se trouvent dans une Lettre de M. Fermat à M. Digby insérée dans le Commercium episto-