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ensuite la Table IV donnera pour $a=22,$

$b=\pm 1,\ \ \pm 3,\ \ \pm 9,\ \ \pm 25,\ \ \pm 27,\ \ \pm 7,\ \ \pm 13,\ \ \pm 21,\ \ \pm 29,\ \ \pm 39\,;$

d’où l’on tire les formes $88n\pm 1,\ 88n\pm 3,\ldots .$

Or puisqu’il suffit d’examiner les nombres premiers moindres que $100,$ on fera d’abord dans ces dernières formes $n=0$ ou $=1,$ et, rejetant les nombres qui ne seraient pas premiers, on ne trouvera que ceux-ci

$89,\ \ 3,\ \ 79,\ \ 97,\ \ 61,\ \ 7,\ \ 13,\ \ 67,\ \ 29,\ \ 59$

qui soient admissibles ; mais, en considérant les formes $12n+1,\ 12n+7,$ on voit qu’il faut encore rejeter tous ceux qui, étant diviséspar $12,$ donneront des restes différents de $1$ ou de $7\,;$ ainsi il n’y aura que ces six

$7,\ \ 13,\ \ 61,\ \ 67,\ \ 79,\ \ 97$

qui puissent servir. La division réussit d’abord par $7,$ et le quotient étant $1429$ qui est premier, il s’ensuit que les diviseurs de $10\,003$ sont seulement $7$ et $1429.$

Prenons encore pour exemple un nombre beaucoup plus grand, comme $100\,003.$

Il est visible qu’on aura d’abord la forme

$10(100)^{2}+3,$

ou bien en multipliantpar $10,$

$(1000)^{2}+30\,;$

de sorte qu’on aura $a=30$ avec le signe $+\,;$ ensuite je considère les carrés qui approchent le plus de $100\,003,$ je trouve $99\,856$ et $100\,489,$ dont les différences avec $100\,003$ sont $147=3(7)^{2}$ et $486=6(9)^{2},$ de sorte que j’aurai encore ces deux autres formes

$(316)^{2}+3(7)^{2}\quad {\text{et}}\quad (317)^{2}-6(9)^{2}\,;$

dont la première donne $a=3$ avec le signe $+,$ et la seconde $a=-6$ avec le signe $-.$

Considérons d’abord ces deux dernières formes, et elles donneront,