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et divisant toute l’équation par $p'c^{2},$ il viendra

$r'=\mathrm {P} r\mp q'^{2}p',$

où je remarque que $\mathrm {P}$ sera nécessairement premier à $p'\,;$ car si ces deux nombres avaient une commune mesure autre que l’unité, il faudrait que le nombre $r'$ fût aussi divisible par cette commune mesure ; ainsi $\mathrm {P}$ et $r'$ ne seraient plus premiers entre eux contre l’hypothèse. Donc $\mathrm {P}$ sera en même temps premier à $p'$ et à $r',$ et par conséquent aussi à $p'r'.$

Cela posé, puisque $p$ et $q$ sont divisibles à la fois par $p'c,$ il est clair que $y'$ le sera aussi, de sorte qu’on aura

$y'=p'cx,$

et l’équation

$p\mathrm {X} =y'^{2}\pm az^{2},$

étant toute divisée par $p'c^{2},$ deviendra

$\mathrm {PX} =p'x^{2}\pm r'z^{2}.$

Or faisant $p'r'=a',$ on pourra réduire, par le Problème précédent, l’expression $p'x^{2}\pm r'z^{2}$ à la forme $4a'n+b',$ où $n$ sera un nombre entier indéterminé, et $b'$ aura des valeurs connues. Qu’on mette $\mathrm {Y}$ à la place de $n,$ et l’on aura l’équation

$\mathrm {PX} =4a'\mathrm {Y} +b',$

laquelle devra avoir lieu en prenant pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des nombres entiers, et qu’on pourra, par conséquent, résoudre par les méthodes connues [voyez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1768^[1]].

Or, comme on suppose que $p$ est impair, il est clair que $\mathrm {P} ,$ qui est un facteur de $p,$ sera aussi impair ; par conséquent $\mathrm {P}$ et $4a'$ seront premiers entre eux, puisqu’on a déjà prouvé que $\mathrm {P}$ est premier à $a'=p'r'\,;$ ainsi l’équation proposée sera toujours résoluble, quelques valeurs qu’on donne à $b'.$

Qu’on divise $4a'$ par $\mathrm {P} ,$ puis $\mathrm {P}$ par le premier reste, puis le premier

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 659.