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On voit donc que la formule $3y^{2}\pm 2yy'-26y'^{2}$ n’a pu fournir que ces transformées

${\begin{array}{lll}\ \ 7y''^{2}-6y''y'''-10y'''^{2},&6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+2y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-13y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},&15y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+4y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-5y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},\\15y''^{2}-4y''y'''-5y'''^{2},&6y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}-2y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-13y'''^{2},&\ \ 7y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+6y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-10y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}\,;\end{array}}$

d’où et de ce qui a déjà été trouvé ci-dessus, je conclus que les douze formules que nous avons données pour les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-79u^{2}$ peuvent se réduire à ces quatre-ci

$y^{2}-79z^{2},\quad 79z^{2}-y^{2},\quad 3y^{2}\pm 2yz-26z^{2},\quad 26z^{2}\mp 2yz-3y^{2},$

lesquelles doivent être regardées comme essentiellement différentes l’une de l’autre, en sorte qu’elles n’admettent plus aucune réduction.

28. D’après ces principes on pourra construire deux Tables pour les formes des diviseurs impairs des nombres $t^{2}+au^{2}$ et $t^{2}-au^{2}$ en supposant successivement $a=1,2,3,\ldots .$

Voici ces Tables poussées jusqu’à $a=31\,;$ il serait bon de les continuer au moins jusqu’à $100\,;$ mais nous nous contentons ici de mettre sur la voie ceux qui voudront dans la suite se charger de ce travail.

On remarquera, à l’égard de la seconde Table, que les signes ambigus $\pm$ qu’on y trouve dénotent que les valeurs de $p$ et de $r$ qui en sont affectées peuvent être prises également avec les signes supérieurs ou avec les inférieurs ; ainsi, puisque à $a=2$ répond $p=\pm 1,\ q=0,\ r=\pm 2,$ il s’ensuit que tout diviseur impair de $t^{2}-2u^{2}$ sera en même temps de la forme $y^{2}-2z^{2}$ et $2z^{2}-y^{2},$ et ainsi des autres ; de sorte que, dans ce cas, on sera libre de prendre les signes supérieurs ou les inférieurs.

On doit remarquer encore que l’on a omis, pour plus de simplicité, toutes les valeurs de $a$ qui seraient égales à des carrés ou divisibles par des carrés ; c’est pourquoi dans la colonne des valeurs de $a$ on ne trouve ni le nombre $4,$ ni le nombre $8,$ ni, etc. ; en effet il est visible que la formule $t^{2}+4u^{2}$ est comprise sous celle-ci $t^{2}+u^{2}$ où $a=1.$ On voit de même que la formule $t^{2}+8u^{2}$ est réductible à celle-ci $t^{2}+2u^{2}$ où $a=2,$ et ainsi des autres.