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On trouvera, de même, que les deux formules

$y^{2}-5z^{2}\quad {\text{et}}\quad 5z^{2}-y^{2}$

reviennent à la même, comme on l’a observé dans le numéro cité, V.

Considérons, pour donner un autre Exemple, le cas du n^o 20, VII, où nous avons trouvé que les formules des diviseurs de

$t^{2}-7u^{2}$

étaient

$y^{2}-7z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-3z^{2},\quad 7z^{2}-y^{2},\quad 3z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

1^o Soit donc

$r'=1,\quad q=0,\quad r=7=a\,;$

on aura

$q'=m',\quad r''={\frac {7-q'^{2}}{1}},$

où l’on voit que $q'$ ne saurait devenir $<{\frac {r'}{2}}<{\frac {1}{2}}.$

2^o On prendra donc

$m'<{\frac {\sqrt {7}}{1}},\quad m'>{\frac {\sqrt {7}}{1}}-1,$

donc

$m'=2,\quad q'=2,\quad r''=3\,;$

de là on aura donc

$q''=2-3m'',\quad r'''={\frac {7-q''^{2}}{3}},$

et pour que $q''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}>{\frac {3}{2}}$ il faudra faire $m''=1,$ ce qui donnera

$q''=-1,\quad r'''=2\,;$

de sorte que, comme $q''$ est en même temps non $>{\frac {r'''}{2}},$ la transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

c’est-à-dire

$2y''^{2}-2y''y'''-3y'''^{2},$

aura les conditions requises.