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et que $\nu$ sera un nombre pair ; alors il sera inutile de pousser le calcul plus loin, parce que les transformées suivantes seraient les mêmes qu’on aurait déjà trouvées.

Donc, dès qu’on aura trouvé par le Problème II toutes les différentes formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$

qui peuvent représenter les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-au^{2},$

on pourra les réduire au plus petit nombre possible en excluant celles qui ne sont que des transformées de quelques-unes de ces formules. Ainsi, comme la formule $y^{2}-az^{2}$ est toujours une de celles des diviseurs de $t^{2}-au^{2}$ (en faisant $q=0$ et $p=1,\ r=a$), on commencera par chercher toutes les transformées de cette même formule, où les propriétés prescrites pourront avoir lieu, et comme ces transformées se trouveront nécessairement parmi les autres formules des diviseurs de $t^{2}-au^{2}$ on pourra d’abord les rejeter comme étant identiques entre elles. Ensuite on fera la même opération sur les formules qui resteront ; et après les avoir parcourues toutes, rejeté celles qui se trouveront identiques entre elles, on sera sûr que les restantes seront toutes différentes entre elles, et qu’elles seront en même temps toutes nécessaires pour représenter tous les diviseurs possibles des nombres de la forme donnée.

Au reste il arrivera le plus souvent que les transformées de la formule $y^{2}-az^{2}$ renfermeront toutes les autres formules des diviseurs de $t^{2}-au^{2},$ surtout lorsque $a$ est un nombre premier ; mais on aurait tort d’en faire une règle générale ; car nous apporterons des Exemples où elle se trouverait en défaut : ce qui servira en même temps à montrer l’utilité et l’importance des méthodes que nous venons de donner.

Exemples.

26. Soit proposée la formule

$y^{2}-2z^{2}\,;$

donc

$r'=1,\quad q=0,\quad r=2=a\,;$