ront avoir lieu ; et il est clair que le nombre des tranformées différentes sera nécessairement limité ; car nous avons vu dans le Problème II qu’il ne peut y avoir qu’un nombre limité de formules différentes où les mêmes conditions soient observées.
Mais, pour avoir toutes les différentes transformées possibles d’une même formule, il faudra faire un double calcul en prenant la valeur de successivement en plus et en moins.
Si les nombres et au lieu d’être tous deux positifs, comme nous l’avons supposé, étaient tous deux négatifs, il n’y aurait qu’à changer les signes de ces nombres aussi bien que celui du nombre c’est-à-dire qu’on prendrait la formule
négativement ; et ensuite on changerait de même tous les signes des transformées qu’on aurait trouvées. Ou bien, ce qui est encore plus simple, on écrira à la place de à la place de et à la place de ce qui donnera la formule
où et seront des nombres positifs.
25. Corollaire. — Il suit de l’analyse du Problème précédent que les nombres seront tous de mêmes signes et tels que
ainsi chacun de ces nombres sera moindre que le nombre donne par conséquent en continuant la série il faudra nécessairement que le même nombre revienne plusieurs fois, et même que la même couple de deux nombres successifs revienne aussi ; donc, en continuant le calcul, suivant la méthode précédente, on retrouvera nécessairement une transformée identique avec quelqu’une de celles qu’on aura déjà eues ; c’est ce qu’on reconnaîtra aisément lorsqu’on trouvera, par exemple,
