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Ensuite on fera

$y''=m'''y'''+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et l’on aura cette troisième transformée

$r'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q'''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y'''^{2},$

dans laquelle

${\begin{aligned}q'''=&q''+r'''m''',\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r''-2q''m'''-r'''m'''^{2}={\frac {a-q'''^{2}}{r'''}}.\end{aligned}}$

On prendra pour $m'''$ un nombre entier positif et tel que $q''+r'''m'''$ ne soit pas $>{\frac {r'''}{2}},$ et si la valeur de $q'''$ n’est pas en même temps $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},$ on sera assuré que la transformée trouvée aura les conditions requises.

4^o On déterminera $m'''$ en sorte que

$m'''<{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}},\quad m'''>{\frac {{\sqrt {a}}+q''}{r'''}}-1.$

Ensuite on fera

$y'''=m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$

ce qui donnera la quatrième transformée

$r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}},$

où

${\begin{aligned}q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&q'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&r'''+2q'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}={\frac {a-q^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}}{r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.\end{aligned}}$

On prendra $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ tel que $q'''-r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ ne soit pas $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},$ et si $q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ n’est pas en même temps $>{\frac {r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{2}}$ la transformée aura les conditions requises.

5^o On déterminera $m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots .$

De cette manière on trouvera successivement toutes les transformées de la formule proposée, dans lesquelles les conditions prescrites pour-