On aura donc, en prenant un coefficient quelconque,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu =&\lambda \mathrm {A} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a},\\\nu =&\lambda \mathrm {B} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b},\\\pi =&\lambda \mathrm {C} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb17f8db09871b37a9e71ace4b1138903990ec08)
donc, substituant ces valeurs dans les équations
![{\displaystyle \mu +\nu +\pi +\ldots =1,\quad \mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ad947d40c74ff0c080d4962e4c2f683688a155)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda \left[\ \mathrm {A} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\ \mathrm {B} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\,\mathrm {C} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=1,\\&\lambda \left[\mathrm {A} a\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} b\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} c\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=\upsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91eff70280408326b20076d5c950855a542da753)
d’où l’on tire, en chassant ![{\displaystyle \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc)
![{\displaystyle \mathrm {A} (a-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} (b-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} (c-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54832b7315c156136d3e393381a5595087dfe70)
équation par laquelle on déterminera
après quoi on aura
![{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\mathrm {A} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96bd3171d7dbf87bc5df7fe170c6e9baeeebe92)
et ensuite
par les formules précédentes.
Ainsi l’on pourra toujours, par ce moyen, juger de la convergence ou de la divergence de chaque série.