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Cela posé

1^o On fera

$y=m'y'+y'',$

ce qui donnera cette première transformée

$r'y''^{2}+2q'y''y'-r''y'^{2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}q'=&q+r'm',\\r''=&r-2qm'-r'm'^{2}={\frac {a-q'^{2}}{r'}}.\end{aligned}}$

On prendra, s’il est possible, pour $m'$ un nombre entier positif, tel que $q+r'm'$ ne soit pas $>{\frac {r'}{2}}\,;$ ensuite on verra si $r''$ est $>q'$ ou non, et dans ce dernier cas la transformée trouvée aura les conditions requises.

2^o On déterminera $m'$ en sorte que

$m'<{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r'}},\quad m'>{\frac {{\sqrt {a}}-q}{r'}}-1.$

Ensuite on fera

$y'=m''y''+y''',$

ce qui donnera cette seconde transformée

$r'''y''^{2}+2q''y''y'''-r''y'''^{2},$

en faisant

${\begin{aligned}q''\ =&q'-r''m'',\\r'''=&r'+2q'm''-r''m''^{2}={\frac {a-q''^{2}}{r''}}.\end{aligned}}$

On prendra $m''$ entier positif et tel que $q'-r''m''$ ne soit pas $>{\frac {r''}{2}}\,;$ et si en même temps $q''$ ne surpasse pas ${\frac {r'''}{2}}$ la transformée précédente aura les conditions requises.

3^o On déterminera $m''$ en sorte que

$m''<{\frac {{\sqrt {a}}+q'}{r''}},\quad m''>{\frac {{\sqrt {a}}+q'}{r''}}-1.$