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On trouvera de même, pour le cas de $r$ négatif,

${\begin{alignedat}{2}m'<&{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}},\qquad &m'>{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}}-1,\\\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}.\end{alignedat}}$

D’où l’on voit que le nombre $m',$ devant être entier, sera nécessairement déterminé, puisque les deux limites entre lesquelles il doit se trouver ne diffèrent que de l’unité.

Enfin on substituera $\mu s+x$ à la place de $x',$ et l’on aura la troisième transformée dans laquelle

${\begin{aligned}&\mathrm {Q=Q'-R} \mu ,\\&\mathrm {R=P'+2Q'\mu -R\mu ^{2}} ={\frac {a-\mathrm {Q} ^{2}}{\mathrm {R} }}.\end{aligned}}$

Et, en faisant attention que

$\mathrm {P} =-\mathrm {R} \left(\mu +{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)\left(\mu -{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)$

(à cause de $\mathrm {RP} '=a-\mathrm {Q} '^{2}$), on prouvera comme ci-dessus que, dans le cas de $r$ positif, on aura

${\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }},\end{alignedat}}$

et dans le cas de $r$ négatif

${\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}.\end{alignedat}}$

De sorte que le nombre $\mu '$ sera aussi déterminé, et qu’il n’y aura d’indéterminé que le nombre $\mu .$