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des nombres positifs ; donc les deux nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R}$ seront nécessairement de même signe.

De même, puisque $\mathrm {N>M'} ,$ on pourra supposer

$\mathrm {N=\mu 'M'+N'}$

et prendre $\mu '$ positif et tel, que $\mathrm {N} '$ soit aussi positif et moindre que $\mathrm {M} '\,;$ et faisant

$n=\mu 'm'+n',$

on aura (en substituant ces valeurs dans l’équation $\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1$)

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,$

de sorte que $n'$ sera nécessairement aussi positif.

Ensuite, si l’on fait

$s'=\mu 'x'+s,$

on aura

$y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x'\,;$

et, substituant ces valeurs dans la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

on aura cette autre transformée

$\mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'-\mathrm {R} 'x'^{2},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {P} '\ =&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'-rm'^{2},\\\mathrm {Q} ''=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')-rm'n',\\\mathrm {R} '\ =&rn'^{2}-q\mathrm {N} 'n'-p\mathrm {N} '^{2}.\end{aligned}}$

Et l’on prouvera, comme on a fait plus haut, que les nombres $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ seront de mêmes signes.

On pourra trouver pareillement une troisième transformée telle que

$\mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} '''s'x''-\mathrm {R} 'x''^{2},$

dans laquelle

$x''=\mu ''s'+x',$

et où $\mathrm {P} ''$ et $\mathrm {R} '$ seront de mêmes signes, et ainsi de suite.