Pour cela j’observe qu’à cause de
![{\displaystyle pr+q^{2}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9a22ade4b9c02aaa4b3cb08dc85900365d293a)
la quantité
peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {P} =p\left(\mathrm {M} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}m\right)\left(\mathrm {M} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}m\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbb4ae17c160aa37a2ca2eaa639ab8f76e1d053)
et la quantité
sous celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {R} =-p\left(\mathrm {N} +{\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}}n\right)\left(\mathrm {N} +{\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ecf954ce58ba83001e9526602f2094b57caf52)
Or, comme
est
il est clair que la quantité
sera toujours positive, et la quantité
toujours négative ; de sorte que les deux quantités
![{\displaystyle {\frac {q+{\sqrt {a}}}{p}},\quad {\frac {q-{\sqrt {a}}}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a536b96bfcc6ab780b551e5bd000dc4ef1d1f3)
seront nécessairement de signes différents. Nommant donc
celle de ces deux quantités qui sera positive, et
celle qui sera négative (
et
dénotant des nombres positifs), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&p(\mathrm {M} +\alpha m)(\mathrm {M} -\beta m),\\\mathrm {R} =&-p(\mathrm {N} +\alpha n)(\mathrm {N} -\beta n).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227f31287b8873507a3de45c91504b62ec2c2d5e)
D’où l’on voit que, pour que les nombres
et
soient de mêmes signes, il faut que les facteurs
et
soient de signes différents, parce que les facteurs
et
sont tous les deux positifs.
Cela posé, soit
on pourra faire
![{\displaystyle \mathrm {M=\mu N+M'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45f6e599aff9b9d74ae58d841378fa60e37db0e)
et prendre pour
un nombre entier positif tel, que
soit aussi positif et moindre que
car pour cela il n’y aura qu’à diviser
par
et faire le quotient égal à
et le reste égal à
Qu’on fasse de même
![{\displaystyle m=\mu n+m',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d117e92345aa69c540206d7d1c0feb083322ce)