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46. Nous avons vu (41) que, pour que la série soit convergente, il faut que $\mathrm {N}$ ne soit pas $>1\,;$ on cherchera donc dans chaque cas la plus grande valeur de $\mathrm {N} ,$ en regardant les quantités $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ comme variables, et si elle ne se trouve pas plus grande que l’unité, on en conclura que la série est convergente ; sinon elle sera divergente.

Faisons varier seulement $\mu$ et $\nu ,$ et l’on aura

${\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} }}=d\upsilon \log {\frac {\alpha \omega }{\upsilon -1}}+d\mu \left(\log {\frac {\mathrm {A} }{\mu }}-1\right)+d\nu \left(\log {\frac {\mathrm {B} }{\nu }}-1\right)\,;$

mais il faut que

$\mu +\nu +\pi \ldots =1\quad {\text{et}}\quad a\mu +b\nu +c\pi \ldots =\upsilon \,;$

donc

$d\mu +d\nu =0\quad ad\mu +bd\nu =d\upsilon \,;$

d’où

$d\mu ={\frac {d\upsilon }{a-b}},\quad d\nu ={\frac {d\upsilon }{b-a}}\,;$

donc, substituant ces valeurs, et égalant la différentielle $d\mathrm {N}$ à zéro, on aura

$\log {\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}+{\frac {\log {\dfrac {\mathrm {A} }{\mu }}-\log {\dfrac {\mathrm {B} }{\nu }}}{a-b}}=0,$

d’où l’on tire

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}{\frac {\mathrm {B} }{\nu }}.$

On trouverait de même, en faisant varier $\mu$ et $\pi ,$

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}{\frac {\mathrm {C} }{\pi }},$

et ainsi de suite ; de sorte que les conditions du maximum ou minimum seront renfermées dans ces équations

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}{\frac {\mathrm {B} }{\nu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}{\frac {\mathrm {C} }{\pi }}=\ldots .$