en sorte que
sera
et
abstraction faite des signes de
et
On pourra trouver de même une troisième transformée telle que
![{\displaystyle \mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x''+\mathrm {R} 'x''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6efcd815f9067bcc5b9623fcb501f174da67f71)
laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.
Je considère maintenant que comme les nombres
![{\displaystyle \mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb442ab68d29fbf4c5b5296857c3bf7564ddc97c)
forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que
soit ce terme, en sorte que l’on ait
donc à cause de
![{\displaystyle \mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bb387db4e9d2513dbfbdd48cd40e75247daf92)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} 'n'=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05a6671d973582e2c77045efa27623319db5740)
donc
![{\displaystyle \mathrm {M} '=\pm 1\quad {\text{et}}\quad n'=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b2cb35f5aa1ed67f72113387f03d6b42569519)
donc
![{\displaystyle \mathrm {P} '=p\pm 2qm'+rm'^{2},\quad \mathrm {Q} ''=\pm q\pm rm',\quad \mathrm {R} '=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4695952a7682b1f6c74d2b79a9301cf13376fa32)
les signes ambigus étant arbitraires.
Or il faut :
1o Que l’on ait
abstraction faite des signes de ces nombres ; mais
et
à cause de
non plus grand que
(hypothèse), donc
ne pourra être
à moins que
ne soit égal à zéro ou égal à
2o Que
soit en même temps
or si
on a
![{\displaystyle \mathrm {Q} ''=\pm q,\quad \mathrm {P} '=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c74764d92b41788f26c3ab96ab489f8938b619)
de sorte qu’à cause de
non plus grand que
(hypothèse),
sera toujours
au lieu d’être plus grand ; si
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} '=p\pm 2q+r,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} ''=q\pm r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7446da883f6b5300b4aefa83297eb384e89a50)