Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/727

ei par conséquent

$\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m'=\pm 1.$

On trouvera aussi

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =\left(pr-q^{2}\right)(\mathrm {M} 'n-\mathrm {N} m')^{2},$

et par conséquent

$\mathrm {P'R-Q'^{2}} =a.$

De sorte que, comme $a$ est positif et que $\mathrm {Q} '$ est $>\mathrm {R} ,$ il faudra que $\mathrm {P} '$ soit $>\mathrm {Q} '\,;$ ainsi la transformée précédente sera telle, que $\mathrm {Q} '$ sera $>\mathrm {R}$ et $<\mathrm {P} '.$

De la même manière, à cause que $\mathrm {N}$ est $>\mathrm {M} ',$ on pourra supposer

$\mathrm {N=\mu 'M'+N'} ,$

et prendre $\mu '$ en sorte qu’il ne soit pas $<2$ et que $\mathrm {N} '$ soit $<\mathrm {M} '\,;$ et faisant ensuite

$n=\mu 'm'+n',\quad s'=\mu 'x'+s,$

en sorte que l’on ait

$y=\mathrm {M} 's'+\mathrm {N} 'x',\quad z=m's'+n'x',$

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

$\mathrm {P} 's'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x'+\mathrm {R} 'x'^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N'} +q(\mathrm {M} 'n'+\mathrm {N} 'm')+rm'n',\\\mathrm {R} '=&p\mathrm {N} '^{2}+2q\mathrm {N} 'n'+rn'^{2},\end{aligned}}$

et où l’on aura aussi

${\begin{aligned}&\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1,\\&\mathrm {Q'=\mu 'P'+Q''} ,\\&\mathrm {P'R'-Q''^{2}} =a,\end{aligned}}$