de
dans l’expression de
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\mu \left(p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2}\right)+p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b79720dff1add29827f489ba1212961029dc99)
de sorte qu’en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1b848b518bb8d23bea85f5746431356be505c5)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q=\mu R+Q'} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fbe0e3212789bc1cb4bc500497d73381a4e064)
Or il faut que
soit
donc, puisque
est
ou
il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités
et
ne soient de signes différents et que
ne soit en même temps
abstraction faite des signes.
Maintenant on aura
![{\displaystyle y=(\mu \mathrm {N+M'} )s+\mathrm {N} x,\quad z=(\mu n+m')s+nx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8074c1e1d56b3d5d652d29b1465f0a74737ea123)
de sorte que si l’on fait
![{\displaystyle x'=\mu s+x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff900bfdd59d137023b7d8e3a8b496393ec3e51)
on aura
![{\displaystyle y=\mathrm {M} 's+\mathrm {N} x',\quad z=m's+nx',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb839e0ef089ceee033cf12fc44e043d8d2ea735)
et la substitution de ces valeurs dans la formule
![{\displaystyle py^{2}+2qyz+rz^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98a9e663d88b776159c4e0d9739b5dc722eecd1)
donnera la nouvelle transformée
![{\displaystyle \mathrm {P} 's^{2}+2\mathrm {Q} 'sx'+\mathrm {R} x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfa33c8596e1c09ef4523db30d8658f54f38464)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p\mathrm {M} '^{2}+2q\mathrm {M} 'm'+rm'^{2},\\\mathrm {Q} '=&p\mathrm {M'N} +q(\mathrm {M} 'n+\mathrm {N} m')+rm'n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def0d6083925c97fd4876a1d62ca350674561b2f)
et
![{\displaystyle \mathrm {R} \ =p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1174d0cec28c08c1e82128da601c0be0c211ff32)
comme plus haut.
Or à cause de
![{\displaystyle \mathrm {M} n-\mathrm {N} m=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663fa891eebe5ff6e5db9d4f598c2c7f721913f8)
on aura
![{\displaystyle (\mu \mathrm {N+M'} )n-\mathrm {N} (\mu n+m')=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cf9d38bf97b4a442b3695f5b691c33a97319e2)