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seront nécessairement renfermés dans les formule

$y^{2}-4z^{2},\quad 4z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}-2z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre quelconque sera de l’une de ces formes.

Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu’à des diviseurs pairs, telles que celle-ci $2y^{2}-2z^{2}\,;$ ainsi nous rejetterons dans la suite, comme-nous l’avons déjà fait plus haut, les valeurs de $p$ et de $r$ qui se trouveront paires en même temps.

V. Soit $a=5,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {5}{5}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on a $pr=5\,;$ donc

$p=1,\quad r=5\,;$

faisant $q=1,$ on aurait $pr=4\,;$ de sorte qu’à cause que $p$ et $r$ doivent n’être pas $<2q,$ on ne pourrait faire que

$p=2,\quad r=2\,;$

mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu’elles sont toutes deux paires ; ainsi l’on n’aura que ces deux formes de diviseurs

$y^{2}-5z^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5z^{2}-y^{2},$

lesquelles se réduisent d’ailleurs à la même, comme on peut s’en convaincre en faisant

$y=2y'+5z'\quad {\text{et}}\quad z=y'+2z'$

(ce qui donnerait $z'=y-2z$ et $y'=5z-2y,$ et par conséquent des valeurs entières pour $y'$ et $z'$) dans la formule $y^{2}-5z^{2},$ laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci, $5z'^{2}-y'^{2}.$

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

$t^{2}-5u^{2}\quad {\text{ou}}\quad 5u^{2}-t^{2},$

sont en même temps de chacune de ces deux formes

$y^{2}-5z^{2},\quad 5z^{2}-y^{2}.$