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19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sont connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermat ; mais M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n’est d’ailleurs applicable qu’aux cas où le nombre $a$ ne surpasse pas $3\,;$ c’est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.

À l’égard des Théorèmes qu’il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblvble qu’il ne les a trouvés que par induction, d’autant qu’il n’en a fait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s’étendre à d’autres nombres qu’à ceux de la forme $t^{2}+u^{2},\ t^{2}+2u^{2}$ et $t^{2}+3u^{2}$ (tome VI, page 214).

Théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}-au^{2}$
ou $au^{2}-t^{2},$ $t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

20. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{5}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-u^{2}$

sont de la forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

par conséquent (14) tout nombre est réductible à cette forme

$y^{2}-z^{2}\,;$

c’est ce qu’on sait d’ailleurs.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{5}}}\,;$ donc $q=0,$ $pr=2\,;$