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les racines ; de sorte que ces racines seront réelles ou imaginaires, suivant que les séries qui les représentent le seront.

Donc (33) l’équation proposée aura dans ce cas autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans les équations qu’on pourra faire en combinant ensemble deux termes consécutifs de cette équation, et les égalant à zéro ; c’est-à-dire dans les équations

$a-bx=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n-1}=0,$

d’où l’on voit qu’il y en aura toujours au moins une de réelle.

2^o Si l’on a

${\frac {a^{n-1}c}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

alors il faudra employer la seconde Solution dont les séries seront nécessairement convergentes ; de sorte que dans ce cas l’équation aura autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans l’équation qu’on fera en égalant à zéro le premier elle dernier terme de la proposée, c’est-à-dire dans l’équation

$a+cx^{n}=0.$

44. Si l’on avait l’équation

$a-bx^{m}+cx^{m+n}=0,$

il n’y aurait qu’à faire, comme dans le n^o 22, $x^{m}=t,$ ce qui la changerait en celle-ci

$a-bt+ct^{\frac {m+n}{m}}=0,$

qui est dans le cas de l’équation du numéro précédent. Ainsi, mettant ${\frac {m+n}{m}}$ à la place de $n,$ on trouvera que la première Solution sera bonne lorsqu’on aura

${\frac {a^{\frac {n}{m}}c}{b^{\frac {m+n}{m}}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {\left({\dfrac {n}{m}}\right)^{\frac {n}{m}}}{\left({\dfrac {m+n}{m}}\right)^{\frac {m+n}{m}}}},$