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2^o Considérons maintenant la formule

$t^{2}-au^{2},$

et l’on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =-a,$

donc $\mathrm {K} =4a,$ comme ci-dessus ; c’est pourquoi on fera de même $\mathrm {Q} =\pm 2q,$ et il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{5}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} =q^{2}-a\,;$

de sorte que si l’on désigne par $p$ et $r$ deux facteurs de $a-q^{2}$ dont aucun ne soit plus petit que $2q,$ on aura

$\mathrm {P} =p,\quad \mathrm {R} =-r,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {P} =-p,\quad \mathrm {R} =r\,;$

ce qui donnera ces deux formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2},$

pour les diviseurs de $t^{2}-au^{2}\,;$ et l’on trouverait la même chose pour la formule $au^{2}-t^{2}.$

Quant aux nombres $p$ et $r,$ nous les prendrons tous les deux positifs, et nous supposerons toujours que $p$ soit le plus petit des deux facteurs de $a-q^{2},$ et $r$ le plus grand, comme nous l’avons dit plus haut ; car il est visible qu’en changeant les signes de $p$ et $r,$ ou mettant l’un de ces nombres à la place de l’autre, on n’aurait pas de nouvelles formules.

17. Corollaire. — Si l’on multiplie la formule

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2}$

par $p,$ elle pourra se mettre sous cette forme

$(py\pm qz)^{2}+\left(pr-q^{2}\right)z^{2},$

c’est-à-dire ${\big (}\!$ à cause de $pr=a+q^{2}{\big )}$ sous celle-ci

$(py\pm qz)^{2}+az^{2},$