Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/706

1^o Considérons la formule

$t^{2}+au^{2},$

et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura

$\mathrm {B} =1,\quad \mathrm {C} =0,\quad \mathrm {D} =a\,;$

donc $\mathrm {K} =4a\,;$ donc $\mathrm {Q}$ devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que $\pm {\sqrt {\frac {4a}{3}}}\,;$ ainsi, faisant $\mathrm {Q} =\pm 2q$ et regardant $q$ comme positif, il faudra que $q$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {a}{3}}}\,;$ ensuite on aura

$\mathrm {PR} ={\frac {4a+4q^{2}}{4}}=a+q^{2}\,;$

de sorte que si $p$ et $r$ dénotent deux facteurs de $a+q^{2},$ dont aucun ne soit moindre que $2q,$ on aura

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

pour la formule générale des diviseurs de $t^{2}+au^{2}.$

Il est bon de remarquer que comme $pr=a+q^{2},$ il faudra que $p$ et $r$ soient de même signe, et il est clair qu’il faudra les prendre positivement pour que la formule

$py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme cette formule ne change point de forme en y mettant $p$ à la place de $r,$ il ne sera pas nécessaire de prendre successivement pour $p$ chacun des facteurs de $a+q^{2},$ et pour $r$ tous les facteurs correspondants ; c’est pourquoi dans chaque couple de facteurs de $a+q^{2}$ il suffira de prendre toujours le plus petit pour $p,$ et le plus grand pour $r\,;$ et c’est ainsi que nous en userons dans la suite.