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par le Problème précédent, on les trouvera comme dans les autres cas, de sorte qu’il en faudra conclure que ces formules renfermeront tous les nombres possibles.

Au reste, comme on a

$\mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

il est clair que la formule générale des diviseurs

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2}$

sera aussi résoluble en deux formules rationnelles du premier degré.

15. Remarque III. — Il est remarquableque les formules des diviseurs ne dépendent que de la valeur de $\mathrm {K} ,$ c’est-à-dire du nombre $\mathrm {4BD-C^{2}} \,;$ mais il est facile d’en voir la raison en remarquant que la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

peut se réduire à

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}+\mathrm {\left(4BD-C^{2}\right)} u^{2}}{4\mathrm {B} }},$

de sorte que les diviseurs de la formule $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ peuvent étre regardés aussi comme diviseurs de cette formule plus simple

$x^{2}\pm \mathrm {K} u^{2}.$

Il résulte de là qu’il suffit de considérer les formules de cette dernière espèce ; et pour cela nous ajouterons encore le Problème suivant, qui peut être regardé comme un cas particulier du précédent, mais qui dans le fond a la même généralité.

Problème II.

16. Trouver toutes les formes possibles des diviseuts des nombres de la forme

$t^{2}\pm au^{2},$

$a$ étant un nombre quelconque positif donné, et $t$ et $u$ étant des nombres indéterminés premiers entre eux.