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2^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=-K} \,;$ on déterminera $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{5}}}\,;$ après quoi l’on déterminera les valeurs correspondantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions, que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre ${\frac {\mathrm {Q^{2}-K} }{4}},$ et que chacun d’eux ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (10 et 11).

13. Remarque I. — Si l’on avait $\mathrm {4BD-C^{2}} =0,$ alors $\mathrm {K}$ étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que $\mathrm {Q} =0,$ et ensuite on aurait aussi $\mathrm {PR} =0,$ de sorte que l’un des nombres $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {R}$ serait nul et l’autre serait tout ce qu’on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

se réduit à celle-ci

${\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }}\,;$

de sorte que, comme $2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$ peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.

14. Remarque II. — La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

est le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que $at+bu$ et $ct+du,$ dont chacune peut représenter des nombres quelconques (2) ; c’est ce qui arrive quand $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est égal à un nombre carré pris négativement ; car supposant

$\mathrm {4BD-C^{2}=-H^{2}} ,$

on a

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}={\frac {\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C+H} )u\right]\left[2\mathrm {B} t+(\mathrm {C-H} )u\right]}{4\mathrm {B} }}.$

Or, quoique dans ce cas tout nombre puisse être un diviseur de la formule dont il s’agit, cependant si l’on cherche les formules des diviseurs