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car, à cause de

$\mathrm {PR={\frac {4BD-C^{2}+Q^{2}}{4}}} ,$

il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ les facteurs du nombre entier

${\frac {\mathrm {Q^{2}+4BD-C^{2}} }{4}},$

en avant soin de rejeter ceux dont l’un ou tous les deux seraient plus grands que $\mathrm {Q} .$

Problème I.

12. Trouver toutes les formespossibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

$t$ et $u$ étant des nombres premiers entre eux.

Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme

$\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},$

$y$ et $z$ étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,$ lorsque celles de $\mathrm {B,C}$ et $\mathrm {D}$ sont données.

Pour cet effet je distingue deux cas, l’un lorsque le nombre $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est positif, et l’autre lorsque ce nombre est négatif.

1^o Soit $\mathrm {4BD-C^{2}=K}$ ($\mathrm {K}$ désignant un nombre positif) ; on déterminera d’abord $\mathrm {Q}$ par ces conditions que $\mathrm {Q}$ soit pair ou impair suivant que $\mathrm {K}$ le sera, et qu’il ne surpasse pas le nombre $\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{3}}}\,;$ ensuite on déterminera $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ par ces conditions-ci que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ soient deux facteurs du nombre $\mathrm {\frac {K+Q^{2}}{4}} ,$ et que chacun de ces facteurs ne soit pas moindre que $\mathrm {Q}$ (9 et 11).