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Car soit par exemple $\mathrm {M>L} ,$ on fera

$s=mx+s',$

et la formule proposée deviendra

$\left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)x^{2}+(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )xs'+\mathrm {L} s'^{2},$

ou bien, en changeant $x$ en $x',$

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} '\,=&\mathrm {L} ,\\\mathrm {M} '=&2\mathrm {L} m+\mathrm {M} ,\\\mathrm {N} '\,=&\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura d’abord, quel que soit le nombre $m,$

$\mathrm {4L'N'-M'^{2}=4L} \left(\mathrm {L} m^{2}+\mathrm {M} m+\mathrm {N} \right)-(2\mathrm {L} m+\mathrm {M} )^{2}=\mathrm {4LN-M^{2}} .$

Or, puisque $\mathrm {L}$ est moindre que $\mathrm {M}$ (hypothèse), il est clair qu’on peut déterminer le nombre $m$ en sorte que $2\mathrm {L} m+\mathrm {M}$ devienne moindre que $\mathrm {M} \,;$ donc, etc.

6. Corollaire I. — Donc, si dans la transformée

$\mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},$

l’un des nombres $\mathrm {L} '$ ou $\mathrm {N} '$ est moindre que $\mathrm {M} ',$ on pourra parvenir à une autre transformée telle que

$\mathrm {L} ''s''^{2}+\mathrm {M} ''s''x''+\mathrm {N} ''x''^{2},$

dans laquelle on aura pareillement

$\mathrm {4L''N''-M''^{2}=4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,$

et où $\mathrm {M} ''$ sera plus petit que $\mathrm {M} ',$ et ainsi de suite ; donc, comme la série des nombres

$\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$