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sance quelconque de la racine cherchée, et même d’une fonction quelconque de cette racine ;

5^o Enfin cette méthode s’applique également aux équations transcendantes qui renferment des logarithmes et des arcs de cercle, et peut servir à résoudre différents Problèmes importants de cette espèce d’une manière plus simple et plus exacte qu’on ne pouvait le faire jusqu’à présent.

§ I. — De la manière d’avoir La somme des puissances d’un degré
quelconque de toutes les racines d’une équations donnée.

Quoique la solution de ce Problème soit assez connue, je crois pouvoir la donner ici, tant à cause du rapport qu’elle a avec le sujet de ce Mémoire, que parce que la méthode dont je me sers est en quelque façon plus simple et plus générale que celles qu’on emploie ordinairement.

1. Soit une équation d’un degré quelconque

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots$

dont les racines soient $p,q,r,\ldots \,;$ on aura, par la théorie connue des équations,

(B)

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots$

Donc, en divisant par $a,$ on aura

$1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre,

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)$

$=\log \left(1-{\frac {x}{p}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .$

Or, on a, en général,

$\log(1-u)=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots \,;$