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cultés qu’il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu’on ne l’a encore fait ; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.

Théorème I.

4. Si le nombres $\mathrm {A}$ est un diviseur d’un nombre représenté par la formule

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

en supposant $t$ et $u$ premiers entre eux, je dis que ce nombre $\mathrm {A}$ sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},$

où l’on aura

$\mathrm {4LN-M^{2}=4BD-C^{2}} ,$

$s$ et $x$ étant aussi premiers entre eux.

Car soit $a$ le quotient de la division de $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$ par $\mathrm {A} ,$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {A} a=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},$

et soit $b$ la plus grande commune mesure entre $a$ et $u$ (si $a$ et $u$ sont premiers entre eux, on aura $b=1$) ; de manière qu’en faisant

$a=bc,\quad u=bs,$

$c$ et $s$ soient premiers entre eux ; on aura donc

$\mathrm {A} bc=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} bts+\mathrm {D} b^{2}s^{2}\,;$

par conséquent $\mathrm {B} t^{2}$ sera divisible par $b\,;$ mais $t$ et $u$ étant premiers entre eux (hypothèse), $t$ sera aussi premier à $b,$ qui est un diviseur de $u\,;$ donc il faudra que $\mathrm {B}$ soit divisible par $b\,;$ de sorte qu’on aura $\mathrm {B=E} b,$ et l’équatiou étant divisée par $b,$ elle deviendra

$\mathrm {A} c=\mathrm {E} t^{2}+\mathrm {C} ts+\mathrm {D} bs^{2}.$

Maintenant, puisque $c$ et $s$ sont premiers entre eux, on peut supposer (par l’Observation précédente)

$t=\theta s+cx,$