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2. Observation. — La formule du premier degré $\mathrm {B} t+\mathrm {C} u,$ où $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont des nombres quelconques donnés et premiers entre eux, peut représenter un nombre quelconque ; mais il n’en est pas de même de la formule du second degré $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}\,;$ car nous avons prouvé ailleurs [voyez les Mémoires de l’Académie pour les années 1767 et 1768^[1]] que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t+\mathrm {C} u$

est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres $\mathrm {A,B,C} ,$ pourvu que les deux derniers soient premiers entre eux ; mais que l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}$

ne l’est que dans certains cas, et lorsque certaines conditions ont lieu entre les nombres donnés $\mathrm {A,B,C,D} .$ On doit dire la même chose, à plus forte raison, des formules du troisième degré et au delà.

3. Scolie. — Il y a donc une grande différence entre les formules du premier degré et celles des degrés supérieurs, celles-là pouvant représenter tous les nombres possibles, au lieu que celles-ci ne peuvent représenter que certains nombres qui doivent être distingués de tous les autres par des caractères particuliers. De très-grands Géomètres ont déjà considéré les propriétés des nombres qui peuvent être représentés par quelques-unes des formules du second degré ou des degrés ultérieurs, comme celles-ci

$t^{2}+u^{2},\quad t^{2}+2u^{2},\quad t^{2}+3u^{2},\quad t^{4}+u^{4},\quad t^{5}+u^{5},\ldots .$

(Voyez les Ouvrages de M. Fermat et les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. I, IV, V, VI, VIII). Mais personne, que je sache, n’a encore traité cette matière d’une manière directe et générale, ni donné des règles pour trouver à priori les principales propriétés des nombres qui peuvent se rapporter à des formules quelconques données.

Comme ce sujet est un des plus curieux de l’Arithmétique, et qu’il mérite particulièrement l’attention des Géomètres par les grandes diffi-

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377 et 655.