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distances aux quatre coins de la pyramide, nommant $\phi$ le carré de la distance de ce centre au sommet, et $\psi ,\psi ',\psi ''$ les carrés de ses distances aux trois angles $\mathrm {M,M',M''}$ de la base, on aura

${\begin{aligned}\phi \ \ =&s^{2}+t^{2}+u^{2},\\\psi \ \ =&(x\ \ -s)^{2}+(y\ \ -t)^{2}+(z\,\ -u)^{2},\\\psi '\ =&(x'\,-s)^{2}+(y'\ -t)^{2}+(z'\,-u)^{2},\\\psi ''=&(x''-s)^{2}+(y''-t)^{2}+(z''-u)^{2}\,;\end{aligned}}$

donc, substituant pour $s,t,u$ les valeurs ci-dessus, développant les termes et faisant les substitutions du n^o 1, on aura

${\begin{aligned}\phi \ \ =&{\frac {a+a'+a''+2(b+b'+b'')}{16}},\\\psi \ \ =&{\frac {9a+a'+a''+2(b-3b'-3b'')}{16}},\\\psi '\ =&{\frac {a+9a'+a''+2(-3b+b'-3b'')}{16}},\\\psi ''=&{\frac {a+a'+9a''+2(-3b-3b'+b'')}{16}}.\end{aligned}}$

37. On pourrait chercher maintenant à déterminer la position mutuelle des trois points que nous venons de considérer dans la pyramide, c’est-à-dire le centre de la sphère circonscrite, le centre de la sphère inscrite et le centre de gravité de la pyramide même, et il est clair que si, pour distinguer les coordonnées des centres des deux sphères, on désigne par $l,m,n$ celles du centre de la sphère circonscrite que nous avons désignées par $p,q,r$ (21), et que l’on conserve ces dernières lettres pour marquer les coordonnées du centre de la sphère inscrite ainsi qu’on en a usé (29), il est clair, dis-je, qu’on aura

$(l-p)^{2}+(m-q)^{2}+(n-r)^{2}$

pour le carré de la distance entre les centres des deux sphères, l’une inscrite, l’autre circonscrite,

$(l-s)^{2}+(m-t)^{2}+(n-u)^{2}$