Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/690

parler, après y avoir changé les signes,

${\begin{aligned}\Delta =&(\xi +2\xi '+\xi '')s+(\eta +2\eta '+\eta '')t+(\zeta +2\zeta '+\zeta '')u,\\\Delta =&(\xi +\xi '+2\xi '')s+(\eta +\eta '+2\eta '')t+(\zeta +\zeta '+2\zeta '')u.\end{aligned}}$

34. Or, dans le point commun aux trois plans, les coordonnées $s,t,u$ doivent être les mêmes ; c’est pourquoi il n’y aura qu’à tirer les valeurs de ces trois quantités des trois équations que nous venons de trouver, et l’on aura les coordonnées qui déterminent le point d’intersection des trois plans en question. Pour cela je retranche d’abord des deux équations du numéro précédent celle du n^o 32, et j’ai ces deux-ci

${\begin{aligned}&(\xi '\,-\xi )s+(\eta '\ -\eta )t+(\zeta '\,-\zeta )u=0,\\&(\xi ''-\xi )s+(\eta ''-\eta )t+(\zeta ''-\zeta )u=0,\end{aligned}}$

d’où je tire facilement

${\begin{aligned}{\frac {s}{u}}=&-{\frac {(\zeta '-\zeta )(\eta ''-\eta )-(\zeta ''-\zeta )(\eta '-\eta )}{(\xi '-\xi )(\eta ''-\eta )-(\xi ''-\xi )(\eta '-\eta )}},\\{\frac {t}{u}}=&-{\frac {(\zeta '-\zeta )(\xi ''-\xi )-(\zeta ''-\zeta )(\xi '-\xi )}{(\xi ''-\xi )(\eta '-\eta )-(\xi '-\xi )(\eta ''-\eta )}},\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en développant les termes et employant les substitutions du n^o 2,

${\frac {s}{u}}=\mathrm {\frac {X+X'+X''}{Z+Z'+Z''}} ,\quad {\frac {t}{u}}=\mathrm {\frac {Y+Y'+Y''}{Z+Z'+Z''}} ,$

ou bien (3)

${\frac {s}{u}}={\frac {x+x'+x''}{z+z'+z''}},\quad {\frac {t}{u}}={\frac {y+y'+y''}{z+z'+z''}}.$

Substituant les valeurs de $s$ et de $t$ tirées de ces équations dans celle du n^o 32, on en déduira la valeur de $u,$ laquelle sera

$u={\frac {\Delta (z+z'+z'')}{\begin{aligned}(2\xi +\xi '+\xi '')(x+x'+x'')&+(2\eta +\eta '+\eta '')(y+y'+y'')\\&+(2\zeta +\zeta '+\zeta '')(z+z'+z'')\end{aligned}}},$

mais le dénominateurde cette formule se réduit par les équations du n^o 7 à $4\Delta \,;$ de sorte qu’on aura, pour les coordonnées $s,t,u$ qui répondent au