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pyramide donnée sont (12)

${\frac {\sqrt {\alpha }}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha '}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha ''}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}\,;$

donc, multipliant ces aires par le tiers des perpendiculaires $\rho ,\rho ',\rho ''$ et $\varpi ,$ abaissées du point $\mathrm {P}$ sur ces mêmes faces, on aura les quantités

${\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}}{6}},\quad {\frac {\rho '{\sqrt {\alpha '}}}{6}},\quad {\frac {\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}}{6}},\quad {\frac {\varpi {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}}{6}},$

qui exprimeront les solidités des quatre pyramides partielles qui ont le point $\mathrm {P}$ pour sommet commun et les triangles $\mathrm {M'LM'',MLM'',MLM',MM'M} ,$ pour bases ; mais la somme de ces solidités doit être égale à la solidité totale de la pyramide donnée, laquelle étant exprimée (14) par ${\frac {\Delta }{6}},$ on aura par conséquent l’équation ci-dessus ; ce qui pourrait servir, s’il était nécessaire, à prouver la bonté de nos calculs.

25. Si les trois perpendiculaires $\rho ,\rho ',\rho ''$ étaient supposées données et qu’on voulût connaître la position du point $\mathrm {P}$ d’où elles sont menées, il n’y aurait qu’à tirer les valeurs des coordonnées $p,q,r$ de ces trois équations

${\begin{aligned}\xi \ \ p+\eta \ \ q+\zeta \ \ r=&\rho \ \ {\sqrt {\alpha }},\\\xi '\ p+\eta '\ q+\zeta '\ r=&\rho '\ {\sqrt {\alpha '}},\\\xi ''p+\eta ''q+\zeta ''r=&\rho ''{\sqrt {\alpha ''}},\end{aligned}}$

et l’on trouvera pour $p,q,r$ des expressions analogues à celles du n^o 18 en y changeants $k,k',k''$ en $\rho {\sqrt {\alpha }},\rho '{\sqrt {\alpha '}},\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}$ et $x,y,z,x',y',\ldots$ en $\xi ,\eta ,\zeta ,$$\xi ',\eta ',\ldots ,$ ce qui change ces dernières en $\mathrm {X,Y,Z,X',Y'} ,\ldots$ (1 et 2), c’est-à-dire en $\Delta x,\Delta y,\Delta z,\Delta x',\Delta y',\ldots$ (3), et la quantité $\Delta$ en $\Delta ^{2}$ (5).

De sorte qu’on aura

${\begin{aligned}p=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}x+\rho '{\sqrt {\alpha '}}x'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}x''}{\Delta }},\\q=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}y+\rho '{\sqrt {\alpha '}}y'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}y''}{\Delta }},\\r=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}z+\rho '{\sqrt {\alpha '}}z'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}z''}{\Delta }}.\end{aligned}}$