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changer de signe à l’expression de la perpendiculaire menée du point $\mathrm {P}$ sur ce même plan ; donc les trois perpendiculaires menées de ce point $\mathrm {P}$ sur les trois faces latérales $\mathrm {MLM',MLM'',M'LM''}$ seront exprimées par les quantités suivantes

${\begin{aligned}&{\frac {\xi ''p+\eta ''q+\zeta ''r}{\sqrt {\alpha ''}}},\\&{\frac {\xi '\ p+\eta '\ q+\zeta '\ r}{\sqrt {\alpha '}}},\\&{\frac {\xi \ \ p+\eta \ \ q+\zeta \ \ r}{\sqrt {\alpha }}}.\end{aligned}}$

24. Désignons par $\varpi$ la perpendiculaire menée du point $\mathrm {P} ,$ dont les coordonnées sont $p,q,r,$ sur la base $\mathrm {MM'M''}$ de la pyramide, et par $\rho ,\rho ',\rho ''$ les perpendiculaires menées du même point $\mathrm {P}$ sur les faces latérales $\mathrm {M'LM''} ,$$\mathrm {MLM'',MLM'} \,;$ on aura par les deux numéros précédents les équations

${\frac {\Delta -(\xi +\xi '+\xi '')p-(\eta +\eta '+\eta '')q-(\zeta +\zeta '+\zeta '')r}{\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}}=\varpi ,$

${\begin{aligned}&{\frac {\xi \ \,p+\eta \ \,q+\zeta \ \,r}{\sqrt {\alpha }}}=wr,\\&{\frac {\xi '\ p+\eta '\ q+\zeta '\ r}{\sqrt {\alpha '}}}=wr',\\&{\frac {\xi ''p+\eta ''q+\zeta ''r}{\sqrt {\alpha ''}}}=wr'',\end{aligned}}$

lesquelles donnent d’abord celle-ci

$\Delta =\varpi {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}+\rho {\sqrt {\alpha }}+\rho '{\sqrt {\alpha '}}+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}},$

qu’on aurait pu trouver immédiatementpar cette considération que, si du point $\mathrm {P}$ on mène aux quatre coins $\mathrm {L,M,M',M''}$ de la pyramide des droites, elles formeront quatre nouvelles pyramides, ayant toutes leurs sommets au point $\mathrm {P} ,$ et ayant pour bases les quatre faces de la pyramide donnée, en sorte que celle-ci se trouvera par là partagée en quatre autres pyramides et par conséquent sa solidité sera égale à la somme des solidités des pyramides partielles qui la composent. Or les aires des faces de la