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nées $p,q,r$ du n^o 18, sans supposer que ce point soit le centre de la sphère circonscrite, et voyons comment on peut déterminer la distance de ce point à la base $\mathrm {MM'M''}$ de la pyramide, c’est-à-dire la ligne perpendiculaire menée du même point sur le plan de cette base.

Pour cela on suivra une méthode analogue à celle du n^o 14, en remarquant seulement que la distance du point $\mathrm {P}$ au point quelconque $\mathrm {N}$ du plan $\mathrm {MM'M''}$ sera exprimée par

${\sqrt {(s-p)^{2}+(t-q)^{2}+(u-r)^{2}}},$

de sorte qu’on aura, en égalant la différentielle de cette quantité à zéro, l’équation

$(s-p)ds+(t-q)dt+(u-r)du=0,$

laquelle, en substituant pour $du$ sa valeur $mds+ndt$ (numéro cité) et faisant séparément égaux à zéro les coefficients de $ds$ et de $dt,$ donnera ces deux-ci

$s-p+m(u-r)=0,\quad t-q+n(u-r)=0\,;$

d’où

$s=p+mr-mu,\quad t=q+nr-nu,$

ce qui étant substitué dans l’équation

$u=l+ms+nt,$

on aura

$u=l+mp+m^{2}r-m^{2}u+nq+n^{2}r-n^{2}u,$

et de là

$u={\frac {l+mp+nq+\left(m^{2}+n^{2}\right)r}{1+m^{2}+n^{2}}}\,;$

donc

$u-r={\frac {l+mp+nq-r}{1+m^{2}+n^{2}}}\,;$

mais en substituant, dans la quantité

${\sqrt {(s-p)^{2}+(t-q)^{2}+(u-r)^{2}}},$

pour $s-p$ et $t-q,$ leurs valeurs ci-dessus $-m(u-r),\ -n(u-r),$