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et de là on tire

${\begin{aligned}a^{2}\ \ =&{\frac {\left(\alpha '+b^{2}\right)\left(\alpha ''+b^{2}\right)}{\alpha +b^{2}}},\\a'^{2}\ =&{\frac {\left(\alpha \ +b^{2}\right)\left(\alpha ''+b^{2}\right)}{\alpha '+b^{2}}},\\a''^{2}=&{\frac {\left(\alpha \ +b^{2}\right)\left(\alpha '+b^{2}\right)}{\alpha ''\ +b^{2}}}.\end{aligned}}$

Donc substituant ces valeurs et faisant pour simplifier encore

$2(\alpha +\alpha '+\alpha '')+6\varepsilon =\delta \quad {\text{et}}\quad b^{2}=u,$

on aura, après avoir ôté les fractions,

${\begin{aligned}u(\alpha '+u)^{2}(\alpha ''+u)^{2}&+u(\alpha +u)^{2}(\alpha ''+u)^{2}+u(\alpha +u)^{2}(\alpha '+u)^{2}\\&-\left(3u^{2}-\delta u+\varepsilon ^{2}\right)(\alpha +u)(\alpha '+u)(\alpha ''+u)=0,\end{aligned}}$

équation qui, étant développée, ne montera qu’au quatrième degré par la destruction des termes qui contiendraient $u^{5}\,;$ et l’on trouvera que le premier terme de cette équation sera

$(\alpha +\alpha '+\alpha ''+\delta )u^{4},$

c’est-à-dire (en remettant la valeur de $\delta$ et de $\varepsilon$)

$3(\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta '')u^{4},$

et que le dernier sera $-\varepsilon ^{2}\alpha \alpha '\alpha ''\,;$ de sorte que comme les quantités $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$ sont nécessairement positives (12) ainsi que la quantité

$\alpha +\alpha '+\alpha ''+2(\beta +\beta '+\beta ''),$

ces deux termes seront de signes différents ; par conséquent l’équation aura toujours au moins une racine réelle et positive.

Ayant trouvé une valeur positive de $u,$ on aura $b={\sqrt {u}},$ et de là on aura $a,a',a''$ par les formules ci-dessus ; ainsi l’on connaîtra les six côtés de la pyramide, à cause de $b'=b''=b.$

18. Considérons un autre point $\mathrm {P}$ placé où l’on voudra, au dedans ou