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mais de manière que leur somme demeure constante ; on aurait donc ces deux équations différentielles

$(\beta '\beta ''-\alpha \beta )d\beta +(\beta \beta ''-\alpha '\beta ')d\beta '+(\beta \beta '-\alpha ''\beta '')d\beta ''=0,$

$d\beta +d\beta '+d\beta ''=0,$

d’où chassant $d\beta '',$ et égalant à zéro les coefficients de $d\beta$ et $d\beta ',$ on tire ces deux équations de condition

$\beta '\beta ''-\alpha \beta =\beta \beta ''-\alpha '\beta '=\beta \beta '-\alpha ''\beta '',$

qui renferment la solution du Problème. Ces deux équations se réduisent par les formules du n^o 2 à

$\mathrm {B=B'=B''} ,$

et par celles du n^o 3 à

$b=b'=b''\,;$

d’où l’on voit que les trois quantités $b,b',b''$ doivent être égales entre elles. Ainsi, comme les quantités $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$ sont supposées données ainsi que la somme $\beta +\beta '+\beta '',$ on aura ces quatre équations

$a'a''-b^{2}=\alpha ,\quad aa''-b^{2}=\alpha ',\quad aa'-b^{2}=\alpha '',$

$3b^{2}-(a+a'+a'')b=\beta +\beta '+\beta '',$

d’où il faudra tirer $a,a',a''$ et $b.$

Si l’on fàit pour plus de simplicité

$\beta +\beta '+\beta ''=\varepsilon ,$

on a, en divisant la dernière équation par $b,$

$a+a'+a''=3b-{\frac {\varepsilon }{b}},$

et prenant les carrés

$a^{2}+a'^{2}+a''^{2}+2(aa'+aa''+a'a'')=9b^{2}-6\varepsilon +{\frac {\varepsilon ^{2}}{b^{2}}}\,;$

or les trois premières équations donnent

$aa'=\alpha ''+b^{2},\quad aa''=\alpha '+b^{2},\quad a'a''=\alpha +b^{2},$