Et comme nous avons trouvé plus haut que les aires des faces de la pyramide s’expriment d’une manière fort simple par les quantités on pourra aussi, si l’on veut, exprimer la solidité de la pyramide par ces mêmes quantités à l’aide des formules du no 4 ; on aura de cette manière la solidité de la pyramide égale à
![{\displaystyle {\frac {\sqrt[{4}]{\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff4aa946a5f718f564ff2a8de4d753cc565432d)
16. Comme il faut six éléments pour la détermination d’une pyramide triangulaire, il est clair que si l’on ne connaissait que la valeur de l’aire de chacune de ses quatre faces, avec celle de sa solidité, on n’aurait que cinq équations, et que par conséquent le Problème de trouver la pyramide qui satisferait à ces données serait indéterminé. En effet les aires des trois faces latérales donneraient les valeurs des trois quantités et celle de la base donnerait la valeur de (12) ; ensuite la considération de la solidité donnerait (numéro précédent) la valeur de la quantité
de sorte qu’on n’aurait que deux équations entre les trois inconnues On pourrait donc prendre une de ces inconnues à volonté, et alors la solution du Problème se trouverait réduite à la résolution d’une équation du second degré.
17. Mais s’il n’y avait de donné que les quatre faces de la pyramide, et qu’il s’agît de trouver les dimensions de la pyramide dont la solidité serait la plus grande, on pourrait résoudre cette question par nos formules avec beaucoup de facilité.
Car il est d’abord clair que les trois quantités seraient données ainsi que la quantité ainsi il ne faudrait que rendre un maximum la quantité
en y regardant comme constantes, et comme variables,
