et de là
![{\displaystyle u={\frac {l}{1+m^{2}+n^{2}}},\quad t=-{\frac {nl}{1+m^{2}+n^{2}}},\quad s=-{\frac {ml}{1+m^{2}+n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ff763a8b9f610319f6c863e8c1fe8a0787ee81)
et, substituant ces valeurs dans l’expression
on aura la valeur cherchée de
qui sera donc
![{\displaystyle {\frac {l}{\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22619f242ab094a30c362cf248635d33922686e0)
Substituons à présent à la place de
leurs valeurs trouvées ci-dessus, on aura
![{\displaystyle h={\frac {\Delta }{\sqrt {(\xi +\xi '+\xi '')^{2}+(\eta +\eta '+\eta '')^{2}+(\zeta +\zeta '+\zeta '')^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9aaa54a324d2a1eadab7ae6662a329465dd48d)
c’est-à-dire, en développant les termes qui sont sous le signe et faisant les substitutions du no 1,
![{\displaystyle h={\frac {\Delta }{\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf55ae252ac4eabd8c131c3b92bff515e4700d6)
Mais on a trouvé (12)
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01926fe70bace2ddd9f4a0bf5fbdd7e964c35458)
donc on aura pour la solidité
de notre pyramide la quantité
C’est ce que nous avons déjà démontré d’une autre manière ci-dessus, où nous avons nommé la même quantité que nous désignons ici par
[1].
15. Il est bien remarquable que la quantité
exprime la solidité de la pyramide prise six fois ; si donc on veut exprimer cette solidité par les six côtés
il n’y aura qu’à mettre dans la valeur de
à la place de
les expressions du no 10 ; mais il sera plus simple de conserver les quantités mêmes
et l’on aura (3) la solidité cherchée égale à
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811f6e267c94761d1b910d0086f8b89db13553bc)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 585.