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la perpendiculaire menée du sommet $\mathrm {L}$ sur le plan du triangle opposé $\mathrm {MM'M''} ,$ on aura ${\frac {\mathrm {E} h}{3}}$ pour la solidité cherchée ; mais la difficulté consiste à trouver la quantité $h.$ Soient $s,t,u$ les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d’un point quelconque $\mathrm {N}$ du plan dont nous venons de parler, on aura, comme on sait, l’équation

$u=l+ms+nt,$

les quantités $l,m,n$ étant des constantes qui dépendent de la position du plan ; et comme ce plan est supposé passer par les trois points $\mathrm {M,M',M''} ,$ pour lesquels les coordonnées sont (9)

$x,\ \ y,\ \ z,\ \ x',\ \ y',\ \ z',\ \ x'',\ \ y'',\ \ z'',$

on aura, en substituant successivement ces valeurs à la place de $s,t,u,$ les équations suivantes

${\begin{aligned}z\ \ =&l+mx\,\ +ny,\\z'\ =&l+mx'\,+ny',\\z''=&l+mx''+ny'',\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer les trois constantes $l,m,n.$

Retranchant d’abord ces équations l’une de l’autre, on a ces deux-ci

${\begin{aligned}z'\ -z=&m(x'\,-x)+n(y'\ -y),\\z''-z=&m(x''-x)+n(y''-y),\end{aligned}}$

d’où l’on tire sur-le-champ

${\begin{aligned}m=&{\frac {(z'-z)(y''-y)-(z''-z)(y'-y)}{(x'-x)(y''-y)-(x''-x)(y'-y)}},\\n=&{\frac {(z'-z)(x''-x)-(z''-z)(x'-x)}{(x''-x)(y'-y)-(x'-x)(y''-y)}},\end{aligned}}$

c’est-à-dire en développant les termes et substituant les quantités $\xi ,\xi ',\ldots$ du n^o 1,

$m=-{\frac {\xi +\xi '+\xi ''}{\zeta +\zeta '+\zeta ''}},\quad n=-{\frac {\eta +\eta '+\eta ''}{\zeta +\zeta '+\zeta ''}}.$